决胜2021年中考数学压轴题全揭秘专题3函数问题
考点1一次函数与反比例函数
★题型一：交点问题
【例1】（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝mx（m＞0）与双曲线y交于A，C两点（点A在第一象限），直线y＝nx（n＜0）与双曲线y交于B，D两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD的周长为10时，点A的坐标为 ．
【变式1-1】 （2021•龙泉驿区模拟）如图1，点A在第一象限，AB⊥x轴于B点连接OA，将Rt△AOB折叠，使A′点落在x轴上，折痕交AB边于D点，交斜边OA于E点．
（1）若A点的坐标为（4，3），当EA′∥AB时点A′的坐标是 ．
（2）若A′与原点O重合，OA＝4，双曲线y（x＞0）的图象恰好经过D，E两点（如图2），则k＝ ．
【变式1-2】（2021•郫都区模拟）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝9x﹣1的图象上，则点P的坐标为 ．
【变式1-3】（2021•金牛区模拟）已知一次函数y＝﹣x+m的图象与反比例函数y的图象交于A、B两（点A在点B的左侧），点P为x轴上一动点，当有且只有一个点P，使得∠APB＝90°，则m的值为 ．
【变式1-4】（2021•新都区模拟）如图，点A、B在x轴的上方，∠AOB＝90°，OA、OB分别与函数y、y的图象交于A、B两点，以OA、OB为邻边作矩形AOBC．当点C在y轴上时，分别过点A和点B作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别为E、F，则 ．
★题型二：求系数k的值或范围
【例2】（2020•武侯区模拟）如图，将反比例函数y（k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y（x＞0）的图象上，则k＝ ．
【变式2-1】（2021•南山区校级二模）如图，已知点A在反比例函数y（x＜0）上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为7，则k的值为 ．
【变式2-2】（2021•莲湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B在x轴正半轴上，∠ABO＝30°，四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝120°，若反比例函数y在第一象限的图象经过BC的中点E，则k的值为 ．
【变式2-3】（2021•鼓楼区校级模拟）如图，矩形ABCD的顶点A，B，D分别落在双曲线y═（k＞0）的两个分支上，AB边经过原点O，CB边与x轴交于点E．且EC＝EB．若点A的横坐标为1，则k＝ ．
【变式2-5】（2021•金牛区模拟）如图，已知点A（t，1）在第一象限，将OA绕点O顺时针旋转45°得到OB，若反比例数y（k＞0）的图象经过点A、B，则k＝ ．
【变式2-6】（2021•成华区模拟）如图，点O为坐标原点，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y（x＞0）的图象经过点C且S△BEF，则k的值为 ．
【变式2-7】（2021•南安市校级自主招生）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数的图象过点C，当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为 ．
★题型三：面积问题
【例3】（2021•锦江区模拟）如图，点A是反比例函数y（x＞0）图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，OB，tan∠OAB．点C是反比例函数y（x＞0）图象上一动点，连接AC，OC，若△AOC的面积为，则点C的坐标为 ．
【变式3-1】（2021•江北区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3-2】（2020•日照）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上，顶点C，D位于x轴的负半轴上，双曲线y（k＜0，x＜0）与▱ABCD的边AB，AD交于点E、F，点A的纵坐标为10，F（﹣12，5），把△BOC沿着BC所在直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG，若EG∥y轴，则△BOC的面积是 ．
【变式3-3】（2021•孝感模拟）如图，双曲线y（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF的面积为 ．
【变式3-4】（2021•成都一模）如图，A，B是函数在第一象限图象上的两个点，C，D是函数上两点，AC∥BD∥x轴，若，则△COD的面积是 （用含m的代数式表示）．
★题型四：规律探索
【例4】（2020•自贡）如图，直线yx+b与y轴交于点A，与双曲线y在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝ ，前25个等边三角形的周长之和为 ．
【变式4-1】 （2020•锦州二模）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过点B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过点A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2，过点B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过点A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3，以此类推，…，则点B2020的横坐标为 ．
【变式4-2】（2021•鞍山模拟）如图，分别过x轴上的点A1（1，0），A2（2，0），…，An（n，0）作x轴的垂线，与反比例函数y（x＞0）图象的交点分别为B1，B2，…，Bn，A1B2与A2B1相交于点P1，A2B3与A3B2相交于点P2，…，AnBn+1与An+1Bn相交于点Pn，若△A1B1P1的面积记为S1，△A2B2P2的面积记为S2，△A3B3P3的面积记为S3，…△AnBnPn的面积记为Sn，则Sn＝ ．
★题型五：线段或最值问题
【例5】（2021•锦江区校级模拟）在直角坐标系中，函数y（x＞0，k为常数）的图象经过A（4，1），点B（a，b）（0＜a＜4）是双曲线上的一动点，过A作AC⊥y轴于C，点D是坐标系中的另一点．若以A．B．C．D为顶点的平行四边形的面积为12，那么对角线长度的最大值为 ．
【变式5-1】 （2021•龙沙区一模）如图，直线y＝﹣x+m与双曲线y交于A、B两点，BC∥x轴，AC∥y轴与BC交于点C，则△ABC的面积的最小值是 ．
【变式5-2】（2021•辽阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边BC交x轴于点D，AD⊥x轴，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A，点D的坐标为（3，0），AB＝BD．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P为y轴上一动点，当PA+PB的值最小时，求出点P的坐标．
【变式5-3】（2021•渝北区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y（a＞0）的图象经过点A，动直线x＝t，（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）求k的值；
（2）求△BMN面积的最大值．
★题型六：多序号
【例6】1．（2021•金牛区模拟）如图，一次函数y＝﹣2x+m（m＞0）的图象，与反比例函数y（m＞0）的图象交于点M、N，与x、y轴交于点B、A，ME⊥y轴垂足为E，NF⊥x轴垂足为F，下列结论：①EF∥MN；②ME＝NF；③1；④△AEM与△BFN面积相等．其中正确的是 （填写结论的序号）
【变式6-1】（2021•南山区三模）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴和x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接CF、DE．下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③AC＝BD；④tan∠BAO＝a
其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【变式6-2】（2021•陆川县校级模拟）如图，若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴，分别交函数y（x＜0）和y（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP和OQ．以下列结论：
①∠POQ不可能等于90°；
②；
③这两个函数的图象一定关于y轴对称；
④若S△POM＝S△QOM，则k1+k2＝0；
⑤△POQ的面积是（|k1|+|k2|）．
其中正确的有 （填写序号）．
【变式6-3】（2021•张家港市模拟）函数y和y在第一象限内的图象如图所示，点P是y图象上的一动点，PC⊥x轴于点C，交y的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y的图象于点B．给出如下结论：①PA与PB始终相等；②四边形OAPB的面积为3；③PA＝3AC；④AB∥CD．其中正确的结论是 ②③④ ．（把你认为正确的结论的序号都填上）
【变式6-4】（2021•高新区校级模拟）如图，已知直线y＝k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y的图象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB，给出下列结论：①k1k2＜0；②mn＝0；③S△AOP＝S△BOQ；④不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
决胜2021年中考数学压轴题全揭秘
考点2二次函数
★题型一：函数的图像与性质
【例1】（2020•乐山）我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：
（1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是 ；
（2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象上方或图象上，则实数a的范围是 ．
【变式1-1】（2021•武侯区模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：①c＞0；②b2＞4ac；③b＝﹣2a；④a+b+c＝0，其中正确结论的序号是 ．
【变式1-2】（2021•浙江二模）如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则正方形EFGH的边长为 ．
【变式1-3】（2021•宁波模拟）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，点B的坐标为（2，0），若抛物线yx2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 ．
【变式1-4】（2021•南充模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是 （填写序号）
【变式1-5】（2020•内江）已知抛物线y1＝﹣x2+4x（如图）和直线y2＝2x+b．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＝2时，M的最大值为4；②当b＝﹣3时，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3；③当b＝﹣5时，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
★题型二：图象与几何变换
【例2】（2020•海安市一模）在平面直角坐标系中，将抛物线yx2﹣（m﹣1）x+3m（m为常数）向右平移2个单位长度所得图象的顶点坐标为（s，t），当m≥5时，代数式2t﹣s的最大值为 ．
【变式2-1】（2021•长春模拟）在平面直角坐标系中，如图所示的函数图象是由函数y＝（x﹣1）2+1（x≥0）的图象C1和图象C2组成中心对称图形，对称中心为点（0，2）．已知不重合的两点A、B分别在图象C1和C2上，点A、B的横坐标分别为a、b，且a+b＝0．当b＜x≤a时该函数的最大值和最小值均与a、b的值无关，则a的取值范围为 ．
【变式2-2】（2021•宝山区模拟）如图，点A在直线yx上，如果把抛物线y＝x2沿OA方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ．
【变式2-3】（2021•桃城区校级模拟）直线y＝kx+b与抛物线yx2交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为 ．[提示：直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2互相垂直，则k1•k2＝﹣1]
★题型三：最值问题
【例3】（2021•资中模拟）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于 ．
【变式3-1】（2020•启东市三模）已知实数a，b满足b2﹣a＝3，则代数式a2+4a+4b2+1的最小值为 ．
【变式3-2】（2021•西宁模拟）平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点A（﹣1，0）和B（0，3），点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则OQ+PQ的最大值为 ．
【变式3-3】（2021•浙江自主招生）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为 ．