平面直角坐标系的建立，将代数与几何、数与形有机统一起来，体现在中考中就是一类比较典型的图
形、坐标与函数综合型问题 .
这类问题通常以某一种或两种函数图象为背景，结合特殊三角形或四边形的有关性质考查点坐标或函数
表达式的确定 .
解析此类问题首先要准确把握坐标的概念及特殊点的坐标的特点，其次要熟悉各种基本图形的性质，
第三要熟悉各种基本函数的表达式及图象特征，更重要的是要对数形结合思想有深刻的领悟，熟练地进
行线段长与坐标的转化 .
本节主要来介绍下图形、坐标与函数的类型及题型归纳如下：
类型一：图形、坐标与一次函数
【例题1】已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 坐标为（0,8），点 B 坐标为（4,0），
点 E 是直线 y = x + 4 上的一个动点，若 ∠EAB = ∠ABO，则点 E 的坐标为多少 .
【分析】分两种情况来讨论：
① 当点 E 在 y 轴右侧时，由条件可判定 AE∥BO，容易求得 E 点坐标；
② 当点 E 在 y 轴左侧时，可设 E 点坐标为（a , a + 4），过 AE 作直线交 x 轴于点 C，
可表示出直线 AE 的解析式，可表示出 C 点坐标，再根据勾股定理可表示出 AC 的长，
由条件可得到 AC = BC，可得到关于 a 的方程，可求得 E 点坐标 .
【解析】
① 当点 E 在 y 轴右侧时，如图 1 所示，连接 AE，
∵ ∠EAB = ∠ABO，
∴ AE∥OB，
∵ A（0,8），
∴ E 点纵坐标为 8，
又 ∵ E 点在直线 y = x + 4 上，把 y = 8 代入可求得 x = 4 ,
∴ E 点坐标为（4,8）.
② 当点 E 在 y 轴左侧时，过 A , E 作直线交 x 轴于点 C，如图 2 所示，
∵ ∠EAB = ∠ABO，
∴ AC = BC .
设 OC = m , 则 BC = 4 + m .
解得 m = 6 ,
∴ C（-6,0）.
由 A（0,8），C（-6,0）可得直线 AC 的解析式为 y = 4/3 x + 8 .
∵ 点 E 为直线 y = 4/3 x + 8 与直线 y = x + 4 的交点，
∴ 点 E 的坐标为（-12，-8）.
综上，点 E 的坐标为（4,8）或（-12，-8）.
【解题策略】本题中点 E 的位置没有明确，因此要根据点 E 在 y 轴的左侧、右侧进行分类讨论 .
在画出符合题意得图形后，解析的关键即为求点 E 的坐标 .
在本题中，用到了两种求点坐标的方法：
第一种情况是根据角的相等关系得出点 E 的纵坐标，然后代入表达式求出结果；
第二种情况是通过解二元一次方程组求出两条直线的交点坐标 .
在两种情况求解过程中，都用到了图形的性质，特别是第二种情况中求点 C 的坐标是关键 .
类型二：图形、坐标与反比例函数
【例题2】如图，点 A 的坐标是（-2,0），点 B 的坐标是（0,6），C 为 OB 的中点，
将 △ABC 绕点 B 逆时针旋转 90° 后得到 △A'BC'，
若反比例函数 y = k/x 的图象恰好经过 A'B 的中点 D，求 k 的值是多少 .
【分析】
作 A'H⊥y 轴于 H .
证明 △AOB≌△BHA'（AAS），
得出 OA = BH , OB = A'H , 求出点 A' 的坐标，
再利用中点坐标公式求出点 D 坐标即可解决问题 .
【解析】作 A'H⊥y 轴于 H .
∵ ∠AOB = ∠A'HB = ∠ABA' = 90°，
∴ ∠ABO + ∠A'BH = 90°，∠ABO + ∠BAO = 90°，
∴ ∠BAO = ∠A'BH，
∵ BA = BA' ,
∴ △AOB≌△BHA'（AAS），
∴ OA = BH , OB = A'H ,
∵ 点 A 的坐标是（-2,0），点 B 的坐标是（0,6），
∴ OA = 2 , OB = 6 ,
∴ BH = OA = 2 , A'H = OB = 6 ,
∴ OH = 4，
∴ A'（6,4），
∵ 点 D 为 A'B 的中点，
∴ D（3,5），
∵ 反比例函数 y = k/x 的图象经过点 D，
∴ k = 15 .
【解题策略】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形的变化——旋转等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 .
类型三：图形、坐标与二次函数
【例题3】如图，正方形 OABC 和正方形 CDEF 在平面直角坐标系中，点 O , C , F 在 y 轴上，
点 O 为坐标原点，点 M 为 OC 的中点，抛物线 y = ax2 + b 经过 M , B , E 三点，
则 FE/CB 的值是多少 .
【分析】设正方形 OABC 的边长为 m , 正方形 CDEF 的边长为 n , 由此表示出点 M 、点 B 和点 E 的坐
标，代入点 B 的坐标求得函数解析式，进一步代入点 E，用 m 表示出 n ,
进一步求得 FE/CB 的值即可 .
【解析】设正方形 OABC 的边长为 m , 正方形 CDEF 的边长为 n .
∵ 点 M 为 OC 的中点，
∴ 点 M 为（0，m/2）, 点 B 为（m , m ）和点 E 为（n , m + n ）,
∵ 抛物线经过 M , B , E 三点，
解得 n = m + √2 m 或 n = m - √2 m （不合题意，舍去），
即 CB = m , EF = m + √2 m ,
∴ FE/CB = 1 + √2 .
【解题策略】本题的难点在于抛物线的表达式、两个正方形边长以及顶点坐标均未知，
看似无从下手，但可以设所需线段的长，这样就能表示出相应的点的坐标 .
当然也可以用 “特殊值法”，设正方形 OABC 的边长为 1 求解 .